Équations produit nul (ax + b)(cx + d) = 0 — 1ere Techno

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À retenir

• Règle du produit nul : A B = 0 A = 0 ou B = 0 ; un seul facteur nul suffit. • (ax + b)(cx + d) = 0, avec a 0 et c 0, a pour solutions -b/a et -d/c. • Les racines de f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) sont x_1 et x_2 : la parabole coupe l'axe des abscisses en ces deux abscisses. • La règle exige un second membre nul ; sinon, on se ramène d'abord à une équation de la forme « = 0 ».

Le cours

Règle du produit nul Il suffit qu'un facteur soit nul pour qu'un produit vaille zéro ; réciproquement, un produit égal à zéro a forcément un facteur nul : A B = 0 A = 0 \ ou \ B = 0 Une équation (ax + b)(cx + d) = 0, avec a 0 et c 0, se ramène donc à deux équations du premier degré : ax + b = 0 ou cx + d = 0. Elle a au plus deux solutions. Exemple : (x + 7)(4x - 6) = 0 x + 7 = 0 ou 4x - 6 = 0 x = -7 ou x = 1,5. Ainsi S = \-7\,;\,1,5\. Lien avec le second degré : une fonction polynôme de degré 2 peut s'écrire f(x) = a(x - x_1)(x - x_2). Ses racines x_1 et x_2 sont les solutions de f(x) = 0 : ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses. −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −2 0 2 4 6 racine −1 racine 3 f(x) = (x + 1)(x − 3) Méthode 1. Vérifier que le second membre vaut 0 ; sinon, tout ramener dans le premier membre. 2. Vérifier que le premier membre est un produit ; sinon, le factoriser (facteur commun). 3. Écrire « premier facteur = 0 ou second facteur = 0 » et résoudre chaque équation. 4. Donner l'ensemble des solutions, rangées dans l'ordre croissant. En situation dans les séries technologiques STMG : le résultat d'une entreprise, en milliers d'euros, pour q centaines d'objets vendus, est R(q) = -2(q - 3)(q - 15). Il est nul lorsque q - 3 = 0 ou q - 15 = 0, c'est-à-dire pour 300 ou 1\,500 objets ; entre ces deux quantités, l'entreprise est bénéficiaire, par exemple R(9) = -2 6 (-6) = 72. Problème inverse : pour écrire une équation dont les solutions sont -3 et 1/2, on peut proposer (x + 3)(2x - 1) = 0. Le facteur numérique ne donne pas de solution Dans -2(x - 4)(x + 1) = 0, le facteur -2 n'est jamais nul. Les solutions sont 4 et -1 ; ajouter « x = -2 » est une erreur, car -2 (-6) (-1) = -12 0.

Dans ce chapitre

• Calculs numériques simples, priorités opératoires et parenthèses — 1ere Techno
• Fractions : simplification, comparaison et opérations élémentaires — 1ere Techno
• Puissances de 10, règles d'exposants et notation scientifique — 1ere Techno
• Proportions simples, passage aux pourcentages et retour à la quantité totale — 1ere Techno
• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et évolution réciproque flash — 1ere Techno
• Réduction et regroupement de termes d'une expression littérale — 1ere Techno
• Développement simple k(a + b) et double (a + b)(c + d) — 1ere Techno
• Factorisation par recherche d'un facteur commun évident — 1ere Techno
• Évaluation numérique d'une expression littérale pour une valeur donnée — 1ere Techno
• Équations du premier degré de la forme ax + b = c — 1ere Techno
• Équations avec quotients et fractions simples du type x/a = b — 1ere Techno
• Équations produit nul (ax + b)(cx + d) = 0 — 1ere Techno
• Inéquations du premier degré et règle de changement de sens — 1ere Techno
• Calcul de l'image d'un nombre par une formule de fonction — 1ere Techno
• Recherche algébrique d'antécédents par résolution de f(x) = k — 1ere Techno
• Lectures graphiques directes : images, antécédents, zéros et extrema — 1ere Techno
• Fonctions affines : identification du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine — 1ere Techno
• Situations de proportionnalité, linéarité et calcul de coefficient — 1ere Techno
• Effectifs, effectif total et calcul rapide de fréquences — 1ere Techno
• Calcul et interprétation d'une moyenne simple ou pondérée — 1ere Techno
• Médiane et quartiles Q1 et Q3 d'une série statistique discrète — 1ere Techno
• Étendue et écart interquartile d'une série statistique — 1ere Techno
• Lecture et exploitation rapide de représentations graphiques (diagrammes, histogrammes, boîtes) — 1ere Techno
• Probabilités simples et encadrement 0 <= P(A) <= 1 — 1ere Techno
• Événement contraire et relation fondamentale P(non A) = 1 - P(A) — 1ere Techno
• Équiprobabilité et formule cas favorables sur cas possibles — 1ere Techno
• Extraction rapide de probabilités depuis un tableau à double entrée ou un arbre — 1ere Techno
• Probabilités conditionnelles élémentaires et distinction P_A(B) / P_B(A) — 1ere Techno
• Unités usuelles et conversions rapides (longueurs, aires, volumes, durées, vitesses) — 1ere Techno
• Ordres de grandeur et estimation rapide du résultat sans calculatrice — 1ere Techno
• Contrôle de vraisemblance et détection d'incohérences de calcul — 1ere Techno
• Bilan : Synthèse et méthode sur les Automatismes du Baccalauréat — 1ere Techno