Ordres de grandeur et estimation rapide du résultat sans calculatrice — 1ere Techno

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Estimer, c'est remplacer chaque nombre par une valeur ronde proche (un ou deux chiffres significatifs, puissance de 10), puis calculer de tête. • Produit : un arrondi par excès et un par défaut ; quotient : deux arrondis dans le même sens, ou un multiple simple du diviseur. • L'estimation fixe la puissance de 10 et la place de la virgule : elle élimine les propositions qui ne sont pas du bon ordre.

Le cours

Ordre de grandeur : à quoi sert-il ? Un ordre de grandeur d'un résultat est une valeur approchée obtenue en remplaçant chaque nombre du calcul par une valeur proche, simple à manipuler de tête : un ou deux chiffres significatifs, une puissance de 10. On ne cherche pas la valeur exacte, mais la bonne « taille » du résultat, c'est-à-dire sa puissance de 10. Dans la partie automatismes de l'épreuve anticipée, sans calculatrice, l'estimation permet de choisir la bonne proposition d'un QCM, de placer correctement la virgule et de repérer un résultat aberrant avant de le recopier. STMG : une boutique en ligne a vendu 1\,980 articles à 24,90\ €. Chiffre d'affaires : 1\,980 24,90 2\,000 25 = 50\,000\ €. Parmi les valeurs 4\,930 ; 49\,302 et 493\,020\ €, seule la deuxième est de cet ordre : c'est la valeur exacte. estimation : 2 000 × 25 = 50 000 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 4 930 49 302 493 020 Chaque graduation est 10 fois plus grande que la précédente Méthode : estimer en trois temps 1. Arrondir chaque nombre à une valeur ronde, avec un ou deux chiffres significatifs. 2. Écrire les nombres très grands ou très petits avec une puissance de 10, puis regrouper les puissances. 3. Calculer de tête, puis comparer aux propositions : on garde celle qui a la même puissance de 10. CalculArrondisEstimationValeur exacte 6\,270 31,46\,000 30200 199,7 32\ \% de 6121/3 600200195,84 4,8 10^5 2,1 10^-35 2 10^5 - 31\,0001\,008 2\,130 3502\,100 3506 6,09 Bien choisir ses arrondis Produit : arrondir un facteur par excès et l'autre par défaut pour que les écarts se compensent : 38 52 40 50 = 2\,000 (valeur exacte 1\,976). Quotient : arrondir le numérateur et le dénominateur dans le même sens, ou remplacer le numérateur par un multiple simple du dénominateur. Pour 61218,7, les deux arrondis par excès donnent 640/20 = 32 (valeur exacte 32,7), alors que 600/20 = 30 cumule deux écarts qui font tous deux baisser le quotient. Pour 2\,130 350, on remarque que 350 6 = 2\,100. Pourcentage : 5,2\ \% de 3\,870\ € est proche de 5\ \% de 4\,000\ €, c'est-à-dire 200\ € (valeur exacte 201,24\ €). Une estimation ne départage pas deux valeurs proches L'ordre de grandeur repère une erreur de puissance de 10 ou de virgule, pas un écart de quelques pourcents. Si un QCM propose 1\,950 et 1\,976 pour 38 52, l'estimation 2\,000 ne suffit pas : on regarde alors le chiffre des unités, 8 2 = 16, qui impose un résultat terminé par 6. Et si l'énoncé demande une valeur exacte, on fait ensuite le calcul exact.

Dans ce chapitre

• Calculs numériques simples, priorités opératoires et parenthèses — 1ere Techno
• Fractions : simplification, comparaison et opérations élémentaires — 1ere Techno
• Puissances de 10, règles d'exposants et notation scientifique — 1ere Techno
• Proportions simples, passage aux pourcentages et retour à la quantité totale — 1ere Techno
• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et évolution réciproque flash — 1ere Techno
• Réduction et regroupement de termes d'une expression littérale — 1ere Techno
• Développement simple k(a + b) et double (a + b)(c + d) — 1ere Techno
• Factorisation par recherche d'un facteur commun évident — 1ere Techno
• Évaluation numérique d'une expression littérale pour une valeur donnée — 1ere Techno
• Équations du premier degré de la forme ax + b = c — 1ere Techno
• Équations avec quotients et fractions simples du type x/a = b — 1ere Techno
• Équations produit nul (ax + b)(cx + d) = 0 — 1ere Techno
• Inéquations du premier degré et règle de changement de sens — 1ere Techno
• Calcul de l'image d'un nombre par une formule de fonction — 1ere Techno
• Recherche algébrique d'antécédents par résolution de f(x) = k — 1ere Techno
• Lectures graphiques directes : images, antécédents, zéros et extrema — 1ere Techno
• Fonctions affines : identification du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine — 1ere Techno
• Situations de proportionnalité, linéarité et calcul de coefficient — 1ere Techno
• Effectifs, effectif total et calcul rapide de fréquences — 1ere Techno
• Calcul et interprétation d'une moyenne simple ou pondérée — 1ere Techno
• Médiane et quartiles Q1 et Q3 d'une série statistique discrète — 1ere Techno
• Étendue et écart interquartile d'une série statistique — 1ere Techno
• Lecture et exploitation rapide de représentations graphiques (diagrammes, histogrammes, boîtes) — 1ere Techno
• Probabilités simples et encadrement 0 <= P(A) <= 1 — 1ere Techno
• Événement contraire et relation fondamentale P(non A) = 1 - P(A) — 1ere Techno
• Équiprobabilité et formule cas favorables sur cas possibles — 1ere Techno
• Extraction rapide de probabilités depuis un tableau à double entrée ou un arbre — 1ere Techno
• Probabilités conditionnelles élémentaires et distinction P_A(B) / P_B(A) — 1ere Techno
• Unités usuelles et conversions rapides (longueurs, aires, volumes, durées, vitesses) — 1ere Techno
• Ordres de grandeur et estimation rapide du résultat sans calculatrice — 1ere Techno
• Contrôle de vraisemblance et détection d'incohérences de calcul — 1ere Techno
• Bilan : Synthèse et méthode sur les Automatismes du Baccalauréat — 1ere Techno