Événement contraire et relation fondamentale P(non A) = 1 - P(A) — 1ere Techno

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• A (« non A ») est formé de toutes les issues qui ne réalisent pas A : à chaque expérience, exactement un des deux événements se produit. • Relation fondamentale : P(A) = 1 - P(A), ce qui équivaut à P(A) + P(A) = 1 ; en pourcentage, on complète à 100\ \%. • « Au moins un » a pour contraire « aucun » ; « plus de k » a pour contraire « au plus k ».

Le cours

Événement contraire et relation fondamentale Lors d'une expérience aléatoire, l'univers est l'ensemble de toutes les issues possibles. L'événement contraire d'un événement A, noté A (on lit « A barre » ou « non A »), est formé de toutes les issues qui ne réalisent pas A. À chaque réalisation de l'expérience, l'un des deux événements A ou A se produit, et un seul. Leurs probabilités se complètent donc à 1 : P(A) = 1 - P(A) et P(A) + P(A) = 1 en décimal : P(A) = 0,27 donne P(A) = 0,73 ; en fraction : P(A) = 5/12 donne P(A) = 7/12 ; en pourcentage : P(A) = 8\ \% donne P(A) = 92\ \%. Ω A P(A) = 0,15 non A P(non A) = 0,85 0,15 + 0,85 = 1 : A ou non A, jamais les deux Méthode : écrire le contraire avant de calculer 1. Écrire l'événement A par une phrase précise, en repérant ses mots-clés : « au moins », « au plus », « tous », « aucun », « plus de ». 2. Écrire A par une phrase : c'est tout ce qui reste quand A n'est pas réalisé. 3. Calculer la probabilité la plus simple des deux, puis en déduire l'autre en la retranchant de 1. 4. Contrôler que les deux probabilités sont entre 0 et 1 et que leur somme vaut 1. Événement AÉvénement contraire A au moins une pièce défectueuseaucune pièce défectueuse tous les patients sont guérisau moins un patient n'est pas guéri plus de 3 retards (au moins 4)au plus 3 retards la masse dépasse 250\ gla masse est inférieure ou égale à 250\ g En situation dans les séries technologiques STMG : dans une agence bancaire, la probabilité qu'un client choisi au hasard possède un livret d'épargne est 0,64 ; la probabilité qu'il n'en possède pas est 1 - 0,64 = 0,36. STI2D : un capteur de pression est hors tolérance avec la probabilité 0,15 ; il est donc dans la tolérance avec la probabilité 1 - 0,15 = 0,85. C'est la situation représentée par le schéma. ST2S : si 2/9 des personnes d'un fichier ne sont pas à jour de leurs vaccinations, une personne tirée au hasard dans ce fichier est à jour avec la probabilité 1 - 2/9 = 7/9. Contraire ne veut pas dire incompatible Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps ; deux événements contraires sont incompatibles et, en plus, l'un des deux se produit forcément. Dans une usine qui travaille en trois équipes (matin, après-midi, nuit), on choisit un salarié au hasard : « il est de l'équipe du matin » et « il est de l'équipe de nuit » sont incompatibles, mais pas contraires. Le contraire de « équipe du matin » est « équipe d'après-midi ou de nuit ».

Dans ce chapitre

• Calculs numériques simples, priorités opératoires et parenthèses — 1ere Techno
• Fractions : simplification, comparaison et opérations élémentaires — 1ere Techno
• Puissances de 10, règles d'exposants et notation scientifique — 1ere Techno
• Proportions simples, passage aux pourcentages et retour à la quantité totale — 1ere Techno
• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et évolution réciproque flash — 1ere Techno
• Réduction et regroupement de termes d'une expression littérale — 1ere Techno
• Développement simple k(a + b) et double (a + b)(c + d) — 1ere Techno
• Factorisation par recherche d'un facteur commun évident — 1ere Techno
• Évaluation numérique d'une expression littérale pour une valeur donnée — 1ere Techno
• Équations du premier degré de la forme ax + b = c — 1ere Techno
• Équations avec quotients et fractions simples du type x/a = b — 1ere Techno
• Équations produit nul (ax + b)(cx + d) = 0 — 1ere Techno
• Inéquations du premier degré et règle de changement de sens — 1ere Techno
• Calcul de l'image d'un nombre par une formule de fonction — 1ere Techno
• Recherche algébrique d'antécédents par résolution de f(x) = k — 1ere Techno
• Lectures graphiques directes : images, antécédents, zéros et extrema — 1ere Techno
• Fonctions affines : identification du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine — 1ere Techno
• Situations de proportionnalité, linéarité et calcul de coefficient — 1ere Techno
• Effectifs, effectif total et calcul rapide de fréquences — 1ere Techno
• Calcul et interprétation d'une moyenne simple ou pondérée — 1ere Techno
• Médiane et quartiles Q1 et Q3 d'une série statistique discrète — 1ere Techno
• Étendue et écart interquartile d'une série statistique — 1ere Techno
• Lecture et exploitation rapide de représentations graphiques (diagrammes, histogrammes, boîtes) — 1ere Techno
• Probabilités simples et encadrement 0 <= P(A) <= 1 — 1ere Techno
• Événement contraire et relation fondamentale P(non A) = 1 - P(A) — 1ere Techno
• Équiprobabilité et formule cas favorables sur cas possibles — 1ere Techno
• Extraction rapide de probabilités depuis un tableau à double entrée ou un arbre — 1ere Techno
• Probabilités conditionnelles élémentaires et distinction P_A(B) / P_B(A) — 1ere Techno
• Unités usuelles et conversions rapides (longueurs, aires, volumes, durées, vitesses) — 1ere Techno
• Ordres de grandeur et estimation rapide du résultat sans calculatrice — 1ere Techno
• Contrôle de vraisemblance et détection d'incohérences de calcul — 1ere Techno
• Bilan : Synthèse et méthode sur les Automatismes du Baccalauréat — 1ere Techno