Situations de proportionnalité, linéarité et calcul de coefficient — 1ere Techno

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• y est proportionnelle à x lorsque y = kx, avec un coefficient k = y/x constant (pour x 0). • Représentation graphique : une droite passant par l'origine, celle de la fonction linéaire f(x) = kx. • Linéarité : multiplier ou additionner des valeurs de x revient à multiplier ou additionner les valeurs de y correspondantes. • Valeur manquante : y = kx, x = y/k, ou produit en croix.

Le cours

Grandeurs proportionnelles et coefficient Deux grandeurs x et y sont proportionnelles lorsqu'on obtient toujours y en multipliant x par un même nombre k, appelé coefficient de proportionnalité : y = kx avec k = y/x \ (x 0) La situation est modélisée par la fonction linéaire f(x) = kx, représentée par une droite qui passe par l'origine du repère. En sciences comme en gestion, k porte une unité : prix unitaire en €/kg, vitesse en km/h, débit en L/min, concentration massique en g/L. Linéarité multiplicative : si x est multiplié par un nombre, y est multiplié par le même nombre. Linéarité additive : à x_1 + x_2 correspond y_1 + y_2. Produits en croix : si a/b = c/d, avec b et d non nuls, alors a d = b c. 2 + 5 = 7 Masse (kg) Prix (€) 2 5 7 7 17,5 24,5 ×3,5 7 + 17,5 = 24,5 Prix = 3,5 × masse (3,50 € le kilogramme) Méthode : tester puis exploiter la proportionnalité 1. Exprimer toutes les valeurs d'une même ligne dans la même unité. 2. Calculer le quotient y/x pour chaque couple : s'il est toujours le même, c'est le coefficient k ; sinon, la situation n'est pas proportionnelle. 3. Calculer une valeur manquante par y = k x, par x = y/k ou par un produit en croix. 4. Vérifier l'unité du résultat, puis son ordre de grandeur grâce à la linéarité. En situation dans les séries technologiques STL : une solution a une concentration massique de 12\ g/L ; la masse de soluté est proportionnelle au volume prélevé. Dans 250\ mL = 0,25\ L, il y a 12 0,25 = 3\ g de soluté. STMG : avec une TVA à 20\ \%, le prix TTC est proportionnel au prix HT, avec le coefficient 1,2. Un article à 85\ € HT coûte 85 1,2 = 102\ € TTC ; inversement, un prix de 54\ € TTC correspond à 54 1,2 = 45\ € HT. Proportionnel ou seulement affine ? Un tarif qui comporte une part fixe n'est pas proportionnel : une location d'utilitaire à 25\ € plus 0,40\ € par kilomètre coûte 65\ € pour 100 km, mais 105\ € pour 200 km, et non le double, 130\ €. Sa représentation graphique est une droite qui ne passe pas par l'origine.

Dans ce chapitre

• Calculs numériques simples, priorités opératoires et parenthèses — 1ere Techno
• Fractions : simplification, comparaison et opérations élémentaires — 1ere Techno
• Puissances de 10, règles d'exposants et notation scientifique — 1ere Techno
• Proportions simples, passage aux pourcentages et retour à la quantité totale — 1ere Techno
• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et évolution réciproque flash — 1ere Techno
• Réduction et regroupement de termes d'une expression littérale — 1ere Techno
• Développement simple k(a + b) et double (a + b)(c + d) — 1ere Techno
• Factorisation par recherche d'un facteur commun évident — 1ere Techno
• Évaluation numérique d'une expression littérale pour une valeur donnée — 1ere Techno
• Équations du premier degré de la forme ax + b = c — 1ere Techno
• Équations avec quotients et fractions simples du type x/a = b — 1ere Techno
• Équations produit nul (ax + b)(cx + d) = 0 — 1ere Techno
• Inéquations du premier degré et règle de changement de sens — 1ere Techno
• Calcul de l'image d'un nombre par une formule de fonction — 1ere Techno
• Recherche algébrique d'antécédents par résolution de f(x) = k — 1ere Techno
• Lectures graphiques directes : images, antécédents, zéros et extrema — 1ere Techno
• Fonctions affines : identification du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine — 1ere Techno
• Situations de proportionnalité, linéarité et calcul de coefficient — 1ere Techno
• Effectifs, effectif total et calcul rapide de fréquences — 1ere Techno
• Calcul et interprétation d'une moyenne simple ou pondérée — 1ere Techno
• Médiane et quartiles Q1 et Q3 d'une série statistique discrète — 1ere Techno
• Étendue et écart interquartile d'une série statistique — 1ere Techno
• Lecture et exploitation rapide de représentations graphiques (diagrammes, histogrammes, boîtes) — 1ere Techno
• Probabilités simples et encadrement 0 <= P(A) <= 1 — 1ere Techno
• Événement contraire et relation fondamentale P(non A) = 1 - P(A) — 1ere Techno
• Équiprobabilité et formule cas favorables sur cas possibles — 1ere Techno
• Extraction rapide de probabilités depuis un tableau à double entrée ou un arbre — 1ere Techno
• Probabilités conditionnelles élémentaires et distinction P_A(B) / P_B(A) — 1ere Techno
• Unités usuelles et conversions rapides (longueurs, aires, volumes, durées, vitesses) — 1ere Techno
• Ordres de grandeur et estimation rapide du résultat sans calculatrice — 1ere Techno
• Contrôle de vraisemblance et détection d'incohérences de calcul — 1ere Techno
• Bilan : Synthèse et méthode sur les Automatismes du Baccalauréat — 1ere Techno