Probabilités conditionnelles élémentaires et distinction P_A(B) / P_B(A) — 1ere Techno

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• P_A(B) = P(A B)/P(A) (avec P(A) 0) : probabilité de B lorsqu'on sait que A est réalisé. • Dans un tableau croisé : effectif de A B divisé par l'effectif de la condition A, et non par l'effectif total. • Sur un arbre : P_A(B) est portée par la branche de A vers B, et P(A B) = P(A) P_A(B). • En général P_A(B) P_B(A) : même numérateur, dénominateurs différents.

Le cours

Probabilité de B sachant A Soit A un événement de probabilité non nulle. La probabilité de B sachant A, notée P_A(B), est la probabilité que B se réalise lorsqu'on sait que A est réalisé : l'univers est réduit aux seules issues de A. P_A(B) = P(A B)/P(A) Avec un tableau croisé d'effectifs et un individu choisi au hasard, c'est une fréquence conditionnelle : P_A(B) = effectif de A Beffectif de A. Les mots « sachant que », « parmi les » ou « lorsque » signalent la condition, qui se place en indice. Exemple : contrôle qualité dans un atelier (STI2D) Un atelier a produit 400 pièces sur deux machines ; on choisit une pièce au hasard. Non conforme (N)ConformeTotal Machine M_112228240 Machine M_216144160 Total28372400 P_M_2(N) = 16/160 = 0,1 : parmi les pièces de M_2, 10\ \% sont non conformes ; P_N(M_2) = 16/28 = 4/7 0,57 : parmi les pièces non conformes, environ 57\ \% viennent de M_2 ; P(M_2 N) = 16/400 = 0,04 : la pièce vient de M_2 et elle est non conforme. Même numérateur 16, trois dénominateurs différents : tout dépend de la population de référence. Sur l'arbre ci-dessous, construit à partir du tableau, les branches du second niveau portent les probabilités conditionnelles P_M_1(N) = 12/240 = 0,05 et P_M_2(N) = 0,1. 0,6 0,4 M₁ M₂ 0,05 0,95 0,1 0,9 N non N N non N 0,03 0,57 0,04 0,36 2e niveau : probabilités conditionnelles Méthode : repérer la condition 1. Souligner la condition : ce qui suit « sachant que » ou « parmi ». Elle se place en indice. 2. Le dénominateur est l'effectif (ou la probabilité) de la condition : total de la ligne ou de la colonne correspondante. 3. Le numérateur est l'effectif (ou la probabilité) de l'intersection. 4. Sur un arbre, P_A(B) se lit sur la branche qui va de A à B, et P(A B) = P(A) P_A(B) : par exemple 0,4 0,1 = 0,04. Ne pas inverser la condition En général, P_A(B) P_B(A). Dans une entreprise, 30 des 40 cadres ont un diplôme de niveau bac + 5, et 50 salariés en tout ont ce diplôme. La probabilité qu'un cadre soit diplômé est P_C(D) = 30/40 = 0,75, mais la probabilité qu'un diplômé soit cadre est P_D(C) = 30/50 = 0,6. Le numérateur est le même ; c'est la population de référence qui change.

Dans ce chapitre

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• Étendue et écart interquartile d'une série statistique — 1ere Techno
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• Probabilités conditionnelles élémentaires et distinction P_A(B) / P_B(A) — 1ere Techno
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• Bilan : Synthèse et méthode sur les Automatismes du Baccalauréat — 1ere Techno