Probabilités simples et encadrement 0 <= P(A) <= 1 — 1ere Techno

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Pour tout événement A : 0 P(A) 1 ; P(A) = 0 si A est impossible, P(A) = 1 si A est certain. • Loi de probabilité : chaque issue reçoit une probabilité p_i comprise entre 0 et 1, et p_1 + p_2 + + p_n = 1. • P(A) est la somme des probabilités des issues qui réalisent A. • Trois écritures d'une même probabilité : 3/8 = 0,375 = 37,5\ \%.

Le cours

Loi de probabilité et encadrement Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles ; leur ensemble est l'univers . Un événement est un ensemble d'issues. Définir une loi de probabilité, c'est associer à chaque issue e_i un nombre p_i tel que : 0 p_i 1 et p_1 + p_2 + + p_n = 1 La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des issues qui le réalisent. On en déduit l'encadrement : 0 P(A) 1 P(A) = 0 : l'événement A est impossible, aucune issue ne le réalise. P(A) = 1 : l'événement A est certain, toutes les issues le réalisent ; par exemple P() = 1. Plus P(A) est proche de 1, plus A a de chances de se produire ; sur un grand nombre de répétitions, la fréquence de réalisation de A se rapproche de P(A). Exemple : un composant prélevé au hasard On prélève au hasard un composant dans la production d'une usine. Le contrôle qualité fournit la loi suivante : IssueConformeDéfaut mineurDéfaut majeur Probabilité0,920,05? La somme doit valoir 1 : P(défaut majeur) = 1 - (0,92 + 0,05) = 0,03. La probabilité que le composant présente un défaut, mineur ou majeur, est 0,05 + 0,03 = 0,08, soit 8\ \%. Méthode : vérifier ou compléter une loi 1. Écrire toutes les probabilités sous la même forme, de préférence décimale. 2. Vérifier que chacune est comprise entre 0 et 1. 3. Vérifier que leur somme vaut exactement 1 ; une probabilité inconnue vaut 1 moins la somme des autres. 4. Pour un événement, additionner les probabilités des issues qui le réalisent : le résultat doit rester entre 0 et 1. En situation dans les séries technologiques ST2S : on choisit au hasard une personne dans un fichier de 2\,000 patients, dont 340 sont allergiques à au moins un médicament. La probabilité de choisir un patient allergique est égale à cette proportion : 340/2\,000 = 0,17. STI2D : une machine suivie pendant 5\,000 heures a connu une panne au cours de 35 de ces heures. On estime à 35/5\,000 = 0,007 la probabilité qu'une heure donnée comporte une panne : ce nombre proche de 0 traduit un événement rare. Valeurs impossibles Des résultats comme -0,2, 1,3 ou 115\ \% ne peuvent pas être des probabilités : il faut reprendre le calcul. De même, des probabilités d'issues dont la somme dépasse 1 ne forment pas une loi de probabilité.

Dans ce chapitre

• Calculs numériques simples, priorités opératoires et parenthèses — 1ere Techno
• Fractions : simplification, comparaison et opérations élémentaires — 1ere Techno
• Puissances de 10, règles d'exposants et notation scientifique — 1ere Techno
• Proportions simples, passage aux pourcentages et retour à la quantité totale — 1ere Techno
• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et évolution réciproque flash — 1ere Techno
• Réduction et regroupement de termes d'une expression littérale — 1ere Techno
• Développement simple k(a + b) et double (a + b)(c + d) — 1ere Techno
• Factorisation par recherche d'un facteur commun évident — 1ere Techno
• Évaluation numérique d'une expression littérale pour une valeur donnée — 1ere Techno
• Équations du premier degré de la forme ax + b = c — 1ere Techno
• Équations avec quotients et fractions simples du type x/a = b — 1ere Techno
• Équations produit nul (ax + b)(cx + d) = 0 — 1ere Techno
• Inéquations du premier degré et règle de changement de sens — 1ere Techno
• Calcul de l'image d'un nombre par une formule de fonction — 1ere Techno
• Recherche algébrique d'antécédents par résolution de f(x) = k — 1ere Techno
• Lectures graphiques directes : images, antécédents, zéros et extrema — 1ere Techno
• Fonctions affines : identification du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine — 1ere Techno
• Situations de proportionnalité, linéarité et calcul de coefficient — 1ere Techno
• Effectifs, effectif total et calcul rapide de fréquences — 1ere Techno
• Calcul et interprétation d'une moyenne simple ou pondérée — 1ere Techno
• Médiane et quartiles Q1 et Q3 d'une série statistique discrète — 1ere Techno
• Étendue et écart interquartile d'une série statistique — 1ere Techno
• Lecture et exploitation rapide de représentations graphiques (diagrammes, histogrammes, boîtes) — 1ere Techno
• Probabilités simples et encadrement 0 <= P(A) <= 1 — 1ere Techno
• Événement contraire et relation fondamentale P(non A) = 1 - P(A) — 1ere Techno
• Équiprobabilité et formule cas favorables sur cas possibles — 1ere Techno
• Extraction rapide de probabilités depuis un tableau à double entrée ou un arbre — 1ere Techno
• Probabilités conditionnelles élémentaires et distinction P_A(B) / P_B(A) — 1ere Techno
• Unités usuelles et conversions rapides (longueurs, aires, volumes, durées, vitesses) — 1ere Techno
• Ordres de grandeur et estimation rapide du résultat sans calculatrice — 1ere Techno
• Contrôle de vraisemblance et détection d'incohérences de calcul — 1ere Techno
• Bilan : Synthèse et méthode sur les Automatismes du Baccalauréat — 1ere Techno